Dyskusja:Analiza rzeczywista

Więcej faktów

Znam kilka faktów z analizy rzeczywistej, dla których nie mam rzetelnych źródeł, dlatego piszę je tutaj – może kogoś zaciekawią i zainspirują do znalezienia im przypisów.

Ciągłość jednostajna zachowuje ograniczenie – tj. funkcja ciągła jednostajnie na przedziale ograniczonym jest ograniczona;
Co więcej: na końcach przedziału otwartego funkcja ciągła jednostajnie ma skończone granice; dlatego np. $f(x)=\sin {\frac {1}{x}}$ nie jest ciągła jednostajnie na żadnym przedziale sąsiadującym z zerem. Chyba piszą o tym panie Kaczor i Nowak, cytowane w artykule;
Pochodna nie tylko nie musi być ciągła ani nie musi mieć granicy w punkcie; w nieskończoności też nie musi mieć granicy, nawet jeśli różniczkowana funkcja ją ma. Opowiada o tym Dr Trefor Bazett na swoim kanale YouTube, podając przykład $f(x)={\frac {\sin(x^{2})}{x}}$ ;
Pochodna różna od zera nie gwarantuje monotoniczności w żadnym otoczeniu; o tym Dr Bazett też mówi, podając przykład funkcji z nieciągłą pochodną;
Ciągła pochodna różna od zera już implikuje takie otoczenie. Jeśli pochodna jest dodatnia w jakimś punkcie, to ciągłość implikuje jakieś otoczenie z dodatnimi wartościami, a to implikuje, że pierwotna funkcja jest tam rosnąca.

Tarnoob (dyskusja) 11:49, 29 wrz 2023 (CEST)[odpowiedz]

Różniczkowalność funkcji monotonicznych

Czasem można usłyszeć, że funkcje monotoniczne są prawie wszędzie różniczkowalne, tj. ich zbiór punktów bez pochodnej jest zaniedbywalny (miary zero). Może przy tym być nieprzeliczalny, nawet przy ciągłości -- przykładem ma być funkcja Cantora. Podają to choćby angielska Wikipedia, wykład ze strony MIM UW i portal Mathonline. Drugie i trzecie źródło nazywają fakt miary zero tego zbioru twierdzeniem Lebesgue’a; ujednoznacznienie chyba o tym wspomina, podając jakieś drugie nazwisko, którego nie mogłem znaleźć w Google. Ktoś może zna cytowalne źródła o tym fakcie, np. ma dostęp do podręczników analizy rzeczywistej? Tarnoob (dyskusja) 21:50, 30 wrz 2023 (CEST)[odpowiedz]